Urodził się 1 czerwca 1878 r. w Stokach powiat Piotrków Trybunalski jako syn Adolfa i Pauliny z domu Kobernich. Ukończył studia wyższe na Uniwersytecie Dorpackim w Estonii, uzyskując stopień kandydata teologii, a w 1900 r. został ordynowany na pastora.
W latach 1900-1902 był wikariuszem zboru ewangelicko-augsburgskiego w Zgierzu i Tomaszowie Mazowieckim, a od lipca 1903 r. administratorem kilku zborów w Kole. Jako Polak i patriota za pracę niepodległościową w 1915 r. został internowany przez Niemców na rok do obozu koło Hanoweru. Wrócił do Polski, pracował w Łomży jako nauczyciel i za działalność patriotyczną został wysiedlony z rodziną do Łodzi.
Po odzyskaniu niepodległości przez Polskę, w 1919 r. zgłosił się jako ochotnik na kapelana do władz wojskowych i jako pastor z wyższym wykształceniem teologicznym mianowany został na stopień pułkownika, a stojąc na czele duszpasterstwa ewangelickiego w Wojsku Polskim brał udział w wojnie z bolszewikami.
Na początku 1921 r. został mianowany na stanowisko naczelnego duszpasterza ewangelickiego w kościele garnizonowym w Warszawie. W następnych latach był kierownikiem Wydziału Wyznań Niekatolickich w Ministerstwie Spraw Wojskowych w stopniu pułkownika seniora i proboszczem parafii ewangelickiej w Okręgu Korpusu Nr I Warszawa. Od września 1929 r. przeszedł na emeryturę. Posiadał odznaczenia: Oficerski Krzyż Orderu „Polonia Restituta” i Medal Niepodległości.
Z okazji jubileuszu 25. rocznicy kapłaństwa księdza Ryszarda Paszko, która minęła w 1925 r., ówczesny Minister Spraw Wojskowych general Władysław Sikorski w dniu 24.06.1925 r. wydał specjalny rozkaz, w którym zamieszcza krótką, ale chwalebną opinię o rzetelnej pracy jubilata: Ksiądz pułkownik senior Ryszard Paszko, odznaczony Oficerskim Krzyżem „Polonia Restituta” za zasługi położone dla Rzeczypospolitej na polu organizacji duszpasterstwa w armii, jako naczelny kapelan wyznania ewangelicko augsburgskiego może dziś z poczuciem własnej wartości spojrzeć na 25-lecie swej pracy kapłańskiej.
We wrześniu 1939 r. po wybuchu wojny z Niemcami ksiądz pułkownik Paszko zgłosił się jako ochotnik do wojska i został dowódcą grupy żołnierzy z oddziałów rozbitych w pierwszych dniach ciężkich walk z hitlerowcami. Potem w nieznanych okolicznościach dostał się do sowieckiej niewoli i był odesłany do obozu w Kozielsku, skąd przysłał list do rodziny mieszkającej w Sulejówku koło Warszawy z datą 21.11.1939 r. w którym m. in. pisał: Znajduję się jeszcze w ZSRR, mam jednak nadzieję że wkrótce wyjadę do Polski i jest możliwość że jeszcze przed świętami będę w domu. Jestem zupełnie zdrów i czuję się nieźle, wierzcie mi że przebywam tu w stosunkowo pomyślnych warunkach.
Tęsknię za domem i za wami, bliskimi sercu mojemu i męczy mnie brak wiadomości od was, czy wszyscy żyją, jak sobie radzicie bez emerytury, jak wam się powodzi. Odpiszcie zaraz, a jeśliby przyjazd mój ulegnie opóźnieniu, piszcie co miesiąc.
W dniu 23.12.1939 r. przed wigilią Bożego Narodzenia ksiądz pułkownik Ryszard Paszko został w grupie kapelanów WP odesłany do obozu w Ostaszkowie, gdzie przybyli w dniu 29.12.1939 r. W kwietniu 1940 r. został z Ostaszkowa wywieziony do więzienia NKWD w Kalininie/Twerze, tam zamordowany i pogrzebany razem z innymi w Miednoje. Jego nazwisko figuruje na Katyńskiej Liście Wywozowej z obozu w Ostaszkowie, sporządzonej w 1940 r. przez NKWD w Moskwie nr 027/3 pozycja 33 sprawa nr 5883.
Biogram księdza pułkownika Ryszarda Paszko zamieszczono na 664 stronie w Polskiej Księdze Cmentarnej Miednoje. W październiku 2007 r. w ramach akcji Katyń pamiętamy – uczcijmy pamięć bohaterów został pośmiertnie mianowany na stopień generała brygady WP.
Dla jego pamięci posadzono „Dąb Katyński” w Alei 33 Dębów Pamięci Kapelanów Katyńskich w Kalwarii Pacławskiej. Został upamiętniony tabliczką na Ścianie Katyńskiej w kościele WP w Krakowie i na tablicach memorialnych w Sanktuariach: w Kalwarii Pacławskiej na Podkarpaciu, w Wąwolnicy na Lubelszczyźnie i w Grodowcu na Dolnym Śląsku.